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Erreichbarkeit: Glossar

Glossar

Isochronenkarten:

Die Abbildung zeigt eine Isochronenkarte der Reisezeiten mit der Eisenbahn von London aus für die Jahre 1991 bis 2010 (Spiekermann 1999). Isochronenkarten geben räumlich die zeitlichen Entfernungen aller Punkte auf einer Karte zu einem bestimmten Ort (z. B. London) wieder. Wo die Isochronen weit auseinander liegen, wird pro Zeiteinheit viel Raumdistanz überwunden bzw. ist das Streckennetz gut ausgebaut, z. B. in Frankreich durch den TGV von Lyon nach Paris. Ein Nachteil der Isochronenkarte ist, dass sich zeitliche Entfernungen jeweils nur von einem Ausgangsort darstellen lassen und dass die Darstellung der geschichtlichen Entwicklung über mehrere Jahre unübersichtlich wird.

Beispiel einer IsochronenkarteBeispiel einer Isochronenkarte (Spiekermann 1999)
Linie-zu-Linie:

Während die bis anhin diskutierten Fälle eine eindeutige Lösung finden, ist die Ermittlung der Distanz zwischen zwei Linien uneindeutig (ausser bei parallelen Linien). Dieser Umstand wird aus der Grafik ersichtlich. Geht man von der einen Linie aus und konstruiert eine Senkrechte darauf, so kann von der anderen Linie aus durch den so erhaltenen Schnittpunkt ebenfalls eine Senkrechte konstruiert werden, und es ist ersichtlich, dass daraus zwei verschiedene Distanzen resultieren. Die längere der beiden Distanzen zwischen zwei Liniensegmenten (d. h. Strecken) wird als Haussdorff-Distanz bezeichnet.

Problem der Distanz zwischen                 LinienProblem der Distanz zwischen Linien
Punkt-zu-Linie und Punkt-zu-Knoten:

Aus der analytischen Geometrie kennen Sie noch die Verfahren, um Distanzen Punkt-zu-Punkt und Punkt-zu-Gerade zu berechnen. Eine Gerade hat im Gegensatz zu einer Linie ideale Eigenschaften: Sie ist unendlich lang und bildet eine gerade Linie. Linien in einem GIS, auch Arcs (engl.) genannt, sind im Allgemeinen weder unendlich lang noch sind sie gerade. Linien sind begrenzt durch einen Anfangs- und einen Endknoten (engl. nodes) und enthalten Richtungsänderungen. Solche Richtungsänderungen werden mit Stützpunkten (engl. vertices) ermöglicht. Zwischen den Knoten (Anfangs-, End- und Stützpunkten) ist die Linie eine gewöhnlich gerade Strecke. Da nun also Linien in einem GIS üblicherweise als eine Serie von Strecken (d. h. als Vektorzug) abgebildet werden, wird die Berechnung der Distanz Punkt-zu-Linie etwas aufwendiger als die Ermittlung der Distanz eines Punktes zu einer Geraden. Wie folgende Abbildung zeigt, müssen dabei grundsätzlich zwei Fälle unterschieden werden. Die Geradengleichung kann zur Ermittlung der kürzesten Distanz verwendet werden, falls ein Punkt innerhalb eines parallel zur gefragten Strecke und durch den gegebenen Punkt aufgespanntes Rechteck zu liegen kommt (Punkte p1 und p3). Ansonsten ist die kürzeste Distanz zur fraglichen Linie gleich der Distanz zum nächsten Knoten, wie man dies für die Punkte p2 und p4 gezeigt sieht. Auch die Form der Distanzberechnung wird standardmässig im kommerziellen GIS angeboten, in ArcInfo durch die Funktion NEAR.

Distanz zwischen Punkten und                 LinienDistanz zwischen Punkten und Linien
Punkt-zu-Polygon:

Die Berechnung der Distanz von einem Punkt zu einer Fläche bzw. zu einem Polygon wird häufig vereinfacht, indem die Distanz zum Schwerpunkt des Polygons berechnet wird. So kann dieses Problem als eine Distanzberechnung zwischen Punkten gelöst werden. Bei dieser Methode kann es sein, dass bei konkaven Polygonen (d. h. Polygone mit Innenwinkeln > 180 Grad) der Schwerpunkt ausserhalb des Polygons liegt, womit diese Art der Berechnung nicht sinnvoll ist. Meistens behilft man sich damit, dass der Schwerpunkt in das Polygon zurückgeschoben wird. Soll der Abstand von einem Punkt zur Umrisslinie des Polygons berechnet werden, so ist das Vorgehen analog zum Fall Punkt-zu-Linie.

Distanz zwischen Punkt und                 PolygonDistanz zwischen Punkt und Polygon
Punkt-zu-Punkt:

Die Ermittlung von Distanzen zwischen Punkten ist die einfachste Form der Distanzberechnung. Gemäss dem zugrunde liegenden Koordinatensystem wird der Satz des Pythagoras angewendet. In einem kommerziellen GIS werden solche Funktionalitäten standardmässig angeboten (in Workstation ArcInfo z. B. durch die Funktion POINTDISTANCE).

Distanz zwischen PunktenDistanz zwischen Punkten
Rastermodell:
In einem Rastermodell werden die räumlichen Objekte in gleich grosse Rasterzellen zerlegt. Bei diesem Modell ist die Diskretisierung des Raums offensichtlich. Es eignet sich besonders, um kontinuierliche physikalische Phänomene zu modellieren. In der Schweiz werden beispielsweise Temperaturen in unregelmässig verteilten Wetterstationen gemessen. Möchte man nun aus diesen über den Raum verstreuten Punktdaten eine Rasterkarte erstellen, so können über physikalische Gesetzmässigkeiten die Werte für die fehlenden Rasterzellen abhängig von der Distanz zu den Messorten berechnet (interpoliert) werden. Die Genauigkeit der Distanzermittlung ist dabei alleine von der Maschenweite des Rastermodells abhängig (10m, 20m usw.).
Raum:
Der Raum umfasst eine Menge von Objekten, denen Merkmale zugeordnet sind, zusammen mit einer Beziehung oder Beziehungen, die auf diese Menge definiert wird oder werden.
Vektormodell:
Beim Vektormodell ist die Diskretisierung nicht so offensichtlich. Die Objekte in einem Vektormodell sind randscharf repräsentiert. Es werden so vorzugsweise von Menschen gemachte, also künstliche Phänomene (engl. man-made objects) repräsentiert wie zum Beispiel Landparzellen oder Strassen. Die Diskretisierung ist hier abhängig von der Präzision, mit der die Daten in einem GIS gespeichert werden. Die zwei wichtigsten Datentypen sind ganze Zahlen (engl. integers) und Gleitkommazahlen (engl. floating point numbers). Bei beiden Datentypen sind jeweils positive wie negative Werte möglich. Bei Gleitkommazahlen wird zusätzlich zwischen einfacher (engl. single precision) und doppelter Genauigkeit (engl. double precision) unterschieden. Während bei Integer-Werten die Diskretisierung wie im Fall von Rastern offensichtlich ist, ist es vielleicht für Gleitkommazahlen nicht sofort ersichtlich, wo hier ein Problem bestehen soll.
Ein Zahlenbeispiel soll die Problematik dieser impliziten Diskretisierung erläutern: Die rationale Zahl 1/6 ist genau definiert wird sie jedoch in eine Gleitkommazahl umgewandelt, entsteht eine Zahl mit unendlich vielen Sechsern ab der zweiten Nachkommastelle: 0.166666666.... Ein digitaler Rechner hat nicht unendlich viele Stellen zur Verfügung, um eine Gleitkommazahl zu speichern. Bei der digitalen Repräsentation wird an einer bestimmten Stelle die Zahl einfach abgeschnitten, z. B. 0.166666. Bei Speicherung in Single Precision ist dies nach 6 bis 7 signifikanten Stellen der Fall, bei Double Precision sind es 15 bis 16 signifikante Stellen. Der Rest der Zahl ist nicht nutzbare Information. Digitalrechner nehmen somit eine Diskretisierung der Informationsdarstellung vor, was sich bei hochgenauen Berechnungen mit sehr grossen oder sehr kleinen Zahlen als Rundungsfehler auswirken kann. Vor allem bei der Subtraktion zweier fast gleich grosser Zahlen kann dieser Fehler auftreten.
Folgendes Experiment auf einem Taschenrechner kann diesen Sachverhalt verdeutlichen. Man tippe die folgende Subtraktion ein: 4*arctan(1) - 2*arcsin(1). Diese Subtraktion ergibt in den wenigsten Fällen 0, wie man dies erwarten würde, sondern eine sehr kleine Differenz z. B. -1EXP(-10).
Erstaunlicherweise ist für viele AnwenderInnen diese Diskretisierung nicht weiter störend, bzw. sie sind sich der Problematik überhaupt nicht bewusst. Es zeigt sich, dass man sich bei der Lösung eines Problems mit Computern immer genau überlegen muss, wie man seine Informationen vom Rechner repräsentieren lassen will.
Zeitkarten:

Die Abbildung einer Zeitkarte für den Eisenbahnverkehr 1993 stammt wiederum aus Spiekermann (1999). Zeitkarten basieren auf einer mathematischen Methode zur Transformation des euklidischen Raums in den „Zeit-Raum“. Schnellere Verkehrsmittel lassen den Raum schrumpfen. Die Orte bewegen sich aufeinander zu. Die Abstände zwischen zwei Punkten auf der Karte sind nicht mehr proportional zur räumlichen Distanz, sondern proportional zu den Reisezeiten zwischen ihnen. Der Kartenmassstab wird also durch Zeiteinheiten gebildet. Die bereits 1993 existierenden TGV-Linien lassen Frankreich schrumpfen, während Südosteuropa relativ dazu wegen der schlechten Schienenverkehrsinfrastruktur aufgebläht wird.

Zeitkarte am Beispiel von                 ReisezeitenZeitkarte am Beispiel von Reisezeiten (Spiekermann 1999)

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